Η απάντηση εξαρτάται. Μπορείς είτε να πας σε responsive design ή να φτιάξεις μία ειδική έκδοση για mobile.
Η μία λύση δεν είναι καλύτερη από την άλλη, απλά η κάθε λύση ταιριάζει περισσότερο στις εκάστοτε περιπτώσεις. Αν το site που έχεις ήδη, περιέχει σελίδες που σε ένα κινητό θα ήταν πολύ δύσκολο να δώσεις την ίδια λειτουργικότητα, τότε θα πρέπει να σχεδιάσεις ξανά την σελίδα αυτή ή να απορρίψεις τελείος αυτή την εργασία από κινητά. Το πόσες σελίδες είναι αυτές και τι αλλαγές χρειάζονται στον υπάρχων κώδικα για να γίνουν είναι το σημείο κλειδί για να αποφασίσεις αν θα φτιάξεις νέο site για mobile ή θα δουλέψεις επάνω στο υπάρχων.
Μου έχει τύχει παρόμοια περίπτωση με εσένα. Στη μία περίπτωση μπορούσα να το γυρίσω σε responsive design και η σελίδα να άλλαζε layout αν έμπαινε ο χρήστης από κινητό ή σταθερό ή ταμπλέτα. Η εργασίες που έπρεπε να κάνει ο χρήστης ήταν απλές και μπορούσα εύκολα να τις περάσω σε responsive design. Σε ένα άλλο site όμως η καταχώρηση τιμολογίου σε table html element ήταν αδύνατη σε mobile. Έπρεπε όχι μόνο να αλλάξω την σελίδα αλλά να κάνω και αλλάγές στον κώδικα πλέον, γιατί η διαδικασία καταχώρησεις τιμολογίου άλλαζε δραματικά.
Όπως καταλαβαίνεις η απάντηση είναι σχετική.